Propiedades de la Esperanza Matemática
1. Esperanza de una
función de una variable aleatoria
o Variable discreta
o Variable continua
2. Linealidad de la
esperanza matemática
o E(X + Y)
= E(X) + E(Y)
Ejm: E(6+4)=E(6) + E(4)
o E(k · X)
= k · E(X) para todo número real k.
Ejm: E(5 . 6)= 5 . E(6)
o E(k) = k para
todo número real k.
Ejm: E(5) = 5
o E(a · X + b)
= a · E(X) + b para todo
par de números reales a y b.
Ejm: E(4 . 7 + 8) = 4 . E(7) + 8
3. Esperanza del
producto
o E(X · Y)
= E(X) · E(Y) únicamente en el caso de
que X e Y sean variables aleatorias
independientes.
Ejm: E(5 . 7) = E(5) . E(7)
Propiedades de
la Varianza
Sean “a” y “b” dos constantes cualesquiera y sea X una
variable aleatoria. Entonces:
1. Var (X)
no puede ser negativa
Ejm: Var (8)
2. Var (a) = 0
Ejm: Var (3) = 0
3. Var (X +
a) = Var (X) + Var(a) = Var(X)
Ejm: Var (9 + 3) = Var (9) + Var (3) = Var (9)
4. Var (bX)
= b2 Var (X)
Ejm: Var (4.7) = 42 . Var (7)
5. Var (a
+ bX) = b2 Var (X)
Ejm: Var (3 + 4.7) = 42 . Var (3)
Las propiedades de la desviación estándar son las
mismas que las de la varianza y lo único que se debe hacer es tomar la raíz
cuadrada de los valores de la variancia.
También encontramos que...
1. σ2≥ La varianza es un valor positivo,
como ya se ha comentado anteriormente, la igualdad sólo se da en el caso de que
todas las muestras sean iguales.
2. Si a todos los datos se
les suma una constante, la varianza sigue siendo la misma.
3. Si todos los datos se
multiplican por una constante, la varianza queda multiplicada por el cuadrado
de la constante.
4. Si se disponen de varias
distribuciones con la misma media y se calculan las distintas varianzas, se
puede hallar la varianza total aplicando la fórmula
En el caso de que las distribuciones
tengan distinto tamaño, la fórmula se pondera y queda como
σ2=σ21k1+σ22k2+…+σ2nknk1+k2+…+kn
Ejemplo:
Calcular la varianza de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Propiedades de la
Desviación Típica
1. σ≥0 La desviación
típica es un valor positivo, la igualdad sólo se da en el caso de que todas las
muestras sean iguales.
2. Si a todos los datos
se les suma una constante, la desviación típica sigue siendo la misma.
3. Si todos los datos se
multiplican por una constante, la desviación típica queda multiplicada por
dicha constante.
4. Si se dispone de
varias distribuciones con la misma media y se calculan las distintas
desviaciones típicas, se puede hallar la desviación típica total aplicando la
fórmula
σ=σ21+σ22+…+σ2nn−−−−−−−−−−−−−−−−√
En el caso de que las distribuciones
tengan distinto tamaño, la fórmula se pondera y queda como
σ=σ21k1+σ22k2+…+σ2nknk1+k2+…+kn−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√
Ejemplo:
Calcular la desviación típìca de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
