Propiedades de la Esperanza, Varianza y Desviación Típica

Propiedades de la Esperanza Matemática

1.     Esperanza de una función de una variable aleatoria

o   Variable discreta

o   Variable continua

2.     Linealidad de la esperanza matemática

   o   E(X + Y) = E(X) + E(Y)

Ejm: E(6+4)=E(6) + E(4)

   o   E(k · X) = k · E(X) para todo número real k.

Ejm: E(5 . 6)= 5 . E(6)

   o   E(k) = k para todo número real k.

Ejm: E(5) = 5

   o   E(a · X + b) = a · E(X) + b para todo par de números reales a y b.

Ejm: E(4 . 7 + 8) = 4 . E(7) + 8

3.     Esperanza del producto

  o   E(X · Y) = E(X) · E(Y) únicamente en el caso de que X e Y sean variables aleatorias independientes.

Ejm: E(5 . 7) = E(5) . E(7)

Propiedades de la Varianza

  

Sean “a” y “b” dos constantes cualesquiera y sea X una variable aleatoria. Entonces:

1.      Var (X) no puede ser negativa

Ejm: Var (8)

2.      Var (a) = 0

Ejm: Var (3) = 0

3.      Var (X + a) = Var (X) + Var(a) = Var(X)

Ejm: Var (9 + 3) = Var (9) + Var (3) = Var (9)

4.      Var (bX) = b2 Var (X)

Ejm: Var (4.7) = 42 . Var (7)

5.      Var (a + bX) = b2 Var (X)

Ejm: Var (3 + 4.7) = 42 . Var (3)

Las propiedades de la desviación estándar son las mismas que las de la varianza y lo único que se debe hacer es tomar la raíz cuadrada de los valores de la variancia.

También encontramos que...

     1.  σ2≥ La varianza es un valor positivo, como ya se ha comentado anteriormente, la igualdad sólo se da en el caso de que todas las muestras sean iguales.

      2.    Si a todos los datos se les suma una constante, la varianza sigue siendo la misma.

      3.   Si todos los datos se multiplican por una constante, la varianza queda multiplicada por el cuadrado de la constante.

      4.  Si se disponen de varias distribuciones con la misma media y se calculan las distintas varianzas, se puede hallar la varianza total aplicando la fórmula

σ2=σ21+σ22+…+σ2nn

En el caso de que las distribuciones tengan distinto tamaño, la fórmula se pondera y queda como

1. σ2=σ21k1+σ22k2+…+σ2nknk1+k2+…+kn

Ejemplo:

Calcular la varianza de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Propiedades de la Desviación Típica

1. σ≥0 La desviación típica es un valor positivo, la igualdad sólo se da en el caso de que todas las muestras sean iguales.

2.  Si a todos los datos se les suma una constante, la desviación típica sigue siendo la misma.

3. Si todos los datos se multiplican por una constante, la desviación típica queda multiplicada por dicha constante.

4.   Si se dispone de varias distribuciones con la misma media y se calculan las distintas desviaciones típicas, se puede hallar la desviación típica total aplicando la fórmula

σ=σ21+σ22+…+σ2nn−−−−−−−−−−−−−−−−√      

        En el caso de que las distribuciones tengan distinto tamaño, la fórmula se pondera y queda como

σ=σ21k1+σ22k2+…+σ2nknk1+k2+…+kn−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√

Ejemplo: 

Calcular la desviación típìca de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18